Pembuktian Induksi Matematika (first version)

Definisi :

Sifat pasangan terurut dari N.

“setiap himpunan subset dari N memiliki paling sedikit sebuah element”

Teorema :

Prinsip Induksi Matematika (versi pertama)

“diberikan S subset dari N sehingga berlaku dua sifat

  1. 1  S
  2. Untuk semua k  N, jika k  S , maka k + 1   S

    Sehingga kita memperoleh S = N”

Bukti :

(menggunakan pendekatan kontradiksi)

Misalkan S N, maka himpunan N\S tak kosong. Sehingga melalui prinsip pasangan terurut terdapat setidaknya sebuah elemen m. Karena 1 S sebagai hipotesis (1), kita tahu bahwa m > 1. Akibatnya m – 1 juga bilangan asli. Karena m merupakan anggota minimal dari N sehingga m S, dengan demikian dapat di simpulkan bahwa m – 1 S.

Sekarang kita aplikasikan hipotesis (2) untuk elemen k = m – 1 pada S. Kita menduga bahwa k = m – 1 k + 1 = (m – 1) + 1 k + 1 = m, milik S. Hal ini tentu kontradiksi dengan pernyataan bahwa m S. Karena m diperoleh dari asumsi bahwa N\S tak kosong, kita telah memperoleh kontradiksi. Oleh karena itu, kita harus memiliki S = N. (terbukti)

Contoh soal :

  1. Buktikan bahwa untuk semua n N.
  2. Buktikan bahwa dapat dibagi oleh 8 untuk semua n N.
  3. Buktikan bahwa untuk semua n N.

(pintu jawaban melalui soal)

About these ads

2 thoughts on “Pembuktian Induksi Matematika (first version)

  1. Salam kenal mas Adi, blog anda bagus sekali, terutama materi2 tentang pendidikan matematika, saya banyak belajar dari sini. Terkait posting anda tentang induksi di atas, saya ada beberapa komentar. Pertama, apakah “sifat pasangan terurut dari N” adalah terjemahan dari well-ordering principle of N? Karena terjemahan yang umum dipakai adalah “sifat pengurutan baik/wajar dari N”. Kedua, itu bukan definisi tetapi aksioma. Ketiga, pernyataannya kurang tepat, karena kalau setiap subset (tak kosong) memiliki paling sedikit sebuah elemen, itu berlaku untuk semua himpunan tidak hanya N. Pernyataan yang tepat adalah “setiap subset tak kosong dari N memiliki sebuah elemen terkecil”. Keempat, sifat pengurutan baik dari N sebenarnya ekuivalen dengan prinsip induksi matematika, di dalam tulisan di atas anda telah membuktikan satu arah, yakni anda membuktikan prinsip induksi matematika dengan menggunakan prinsip induksi matematika.

    • trima kasih mas.. sdh mau mampir d blog saya…
      jujur terjemahan ini sya dpat dr dosen sya d program pascasarjana universitas negeri malang
      memang kurang sdkit,, terjemahan kami tu :sifat terurut rapi” bkn “pengurutan” krn N, itu mrupakan kumpulan bilangan yg sdh terurut rapi… bkn berdasarkan pengurutan…
      trimakasih ats koreksix..
      maaf sya blm bs membedakan apa dampakx jk sya menyebut WOP aksioma dan mas herry menyebutx aksioma?
      mngkin bs ngasi penjelasan, dampakx sprti apa?
      trima kasih

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s