Definisi :

Sifat pasangan terurut dari N.

“setiap himpunan subset dari N memiliki paling sedikit sebuah element”

Teorema :

Prinsip Induksi Matematika (versi pertama)

“diberikan S subset dari N sehingga berlaku dua sifat

  1. 1  S
  2. Untuk semua k  N, jika k  S , maka k + 1   S

    Sehingga kita memperoleh S = N”

Bukti :

(menggunakan pendekatan kontradiksi)

Misalkan S N, maka himpunan N\S tak kosong. Sehingga melalui prinsip pasangan terurut terdapat setidaknya sebuah elemen m. Karena 1 S sebagai hipotesis (1), kita tahu bahwa m > 1. Akibatnya m – 1 juga bilangan asli. Karena m merupakan anggota minimal dari N sehingga m S, dengan demikian dapat di simpulkan bahwa m – 1 S.

Sekarang kita aplikasikan hipotesis (2) untuk elemen k = m – 1 pada S. Kita menduga bahwa k = m – 1 k + 1 = (m – 1) + 1 k + 1 = m, milik S. Hal ini tentu kontradiksi dengan pernyataan bahwa m S. Karena m diperoleh dari asumsi bahwa N\S tak kosong, kita telah memperoleh kontradiksi. Oleh karena itu, kita harus memiliki S = N. (terbukti)

Contoh soal :

  1. Buktikan bahwa untuk semua n N.
  2. Buktikan bahwa dapat dibagi oleh 8 untuk semua n N.
  3. Buktikan bahwa untuk semua n N.

(pintu jawaban melalui soal)