tentara-jibiphoto2

http://bandung.bisnis.com/read/20131106/6/452687/korpaskhas-gelar-latihan-bersama-tentara-china

Apakah pembuktian dengan induksi matematika merupakan pembuktian induktif? Atau metode pembuktian yang tidak dapat diterima sebagai kebenaran dalam matematika.

Dalam Pembuktian dengan induksi matematika, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menunjukkan untuk n = 1 benar (atau untuk n = 2 atau 3 atau 4, dst). Mengapa kita harus melakukan itu terlebih dahulu? Untuk apa?

Langkah kedua adalah mengandaikan bahwa n = k benar, maka buktikan bahwa n = k + 1 adalah benar. Mengapa kita percaya pada pembuktian model seperti ini? Apakah ada hal yang bisa dilakukan agar saya bisa mempercayai cara ini memang untuk pembuktian.

Dalam matematika pembuktian merupakan hal yang paling penting. Suatu pernyataan yang benar ataupun salah, sebelum kita menyatakan kebenarannya, maka kita harus membuktikan terlebih dahulu. Sederhananya, tanpa adanya bukti pernyataan masih diragukan kebenarannya. Apabila suatu pernyataan sudah ada buktinya (yang sesuai aturan dan kaidah-kaidah yang telah disepakati kebenarannya atau sudah dibuktikan sebelumnya) maka itu akan bertahan lama, bahkan bisa menjadi sesuatu yang abadi (seperti teorema Pythagoras).

Balik lagi ke induksi matematika. Dalam buku “Introduction to real analysis” Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert bilang bahwa “mathematical induction is a powerfull method of proof that is frequently used to establish the validity of stetements that are given is terms of the natural number.” Yang kurang lebih artinya bahwa induksi matematika merupakan metode pembuktian yang ampuh yang sering digunakan untuk membentuk pernyataan yang valid pada bilangan asli.

Dapat dijabarkan bahwa induksi matematika merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam melakukan pembuktian matematika. Metode yang sangat ampuh yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu pernyataan menjadi valid (valid: dapat mengukur apa yang seharusnya diukur). Dalam konteks matematika, pernyataan yang valid dapat ditafsirkan sebagai pernyataan yang dapat diterima kebenarannya oleh semua orang karena ada unsur kejelasan (bernilai benar saja atau salah saja) pada pernyataan tersebut.

Langkah-langkah dalam pembuktian menggunakan induksi matematika seringkali menjadi sesuatu yang terlewati maknanya, yang terpenting dapat menggunakan prosedur yang ada tanpa mencoba untuk menyelami apa maksudnya semua ini? Mengapa kita harus percaya? Mengapa harus memilih n = 1 terlebih dahulu? Mengapa gak langsung saja melakukan pengandaian? Pertanyaan-pertanyaan ini semestinya muncul sebagai wujud pengembangan berpikir kritis. Kalaupun tidak muncul, seorang pendidik wajib memunculkannya dan bisa dijadikan bahan untuk diskusi ataupun tugas.

(jujur selama S1, S2, bertemu dengan pembuktian ini, saya juga tidak mempertanyakan ini. Yang penting kerja, tugas selesai. Akan tetapi seorang dosen senior yang sekarang menjadi dekan di salah satu universitas swasta di Bali mempertanyakan ini ketika saya melamar menjadi dosen disana. Beliau bercerita kalau waktu kuliah S2 dulu di UM, beliau bertanya tentang mengapa kita harus percaya pada pembuktian induksi matematika, mengandaikan n = k dan menunjukkan bahwa n = k + 1 benar. Jawaban dari dosen-dosen beliau belum membuat ia puas. Dan saya pun menjelaskan ala kadarnya juga. Pertanyaan ini terus terngiang. Hingga 2 tahun kemudian tanpa sengaja saya melakukan diskusi dengan teman sekelas (S3) di rumahnya. Obrolan santai yang serius.)

Saya analogikan pembuktian dengan metode induksi matematika seperti membuktikan bahwa “terdapat suatu barisan yang ingin kita buktikan bahwa semua yang ada dalam berisan tersebut adalah TNI yang berpangkat mayor

Pertama yang bisa kita lakukan adalah memanggil satu per satu setiap orang yang berada pada barisan tersebut. Apabila setiap orang yang kita panggil benar maka pernyataan kita benar bahwa semua barisan tersebut adalah TNI berpangkat mayor. Tetapi, apakah kita mampu untuk melakukannya? oke mungkin kalau hanya 10 orang kita bisa, bagaimana kalau 100 orang, 1000 orang atau tak terhingga orang. Kita pasti akan kelelahan, frustasi dan menyerah alias tidak mampu melakukannya.

Cara lain yang bisa dilakukan adalah dengan induksi matematika. Kita perlu tahu dulu bahwa barisan no urut 1 adalah seorang TNI yang berpangkat mayor. Kalau tidak, kita pilih yang kedua, dst. Sampai kita menemukan orang yang bakal menjadi penanda pertama bahwa ia adalah seorang TNI yang berpangkat mayor. Kenapa ini penting untuk dilakukan? Nanti jawabannya.

Kemudian untuk mengetahui atau membuktikan bahwa semua orang pada barisan tersebut adalah TNI yang berpangkat mayor maka kita harus melakukan pemanggilan serentak (melalui pengeras suara)

“perhatikan semuanya, tadi saya sudah memberikan tanda bahwa orang pada barisan yang pertama adalah TNI yang berpangkat mayor. Saya sudah mengecek dan memastikannya. Sekarang untuk mengecek bahwa semua pada barisan ini adalah TNI berpangkat mayor maka saya akan melakukan panggilan ‘siapapun dalam barisan ini yang bukan TNI berpangkat mayor harap keluar dari barisan’” ternyata tidak ada yang angkat tangan.

“oke, saya andaikan setiap orang yang saya tunjuk adalah benar kalau kalian adalah TNI berpangkat mayor. Sekarang saya akan mengecek bahwa setiap orang mulai dari barisan pertama dan seterusnya. Memastikan bahwa teman disebelah kanan Anda juga TNI berpangkat mayor.”

Hal yang terjadi adalah seperti orang berhitung dan menyatakan diri bahwa ia adalah seorang TNI berpangkat mayor.

Barisan pertama: “satu” saya TNI berpangkat mayor (noleh kanan), benar orang disebelah saya adalah TNI berpangkat mayor.

Barisan kedua: “dua” saya TNI berpangkat mayor (noleh kanan), benar orang disebelah saya adalah TNI berpangkat mayor.

Barisan ketiga: “tiga” saya TNI berpangkat mayor (noleh kanan), benar orang disebelah saya adalah TNI berpangkat mayor.

.

.

.

Dan seterusnya. Sampai semua orang yang ada dalam barisan tersebut menyatakan diri (atau sesuai dengan pengandaian yang kita lakukan atau sejumlah k).

Jadi begitulah kira-kira hasil diskusi malam hingga jam 12 malam yang saya lakukan dengan teman sekelas saya (Bapak Haryanto). Ketika saya ingin pulang ternyata gerbangnya sudah di tutup dan akhirnya saya harus menginap di rumahnya Pak Har.

Kesimpulan kami

  1. Metode induksi matematika merupakan pembuktian induktif
  2. Kenapa menunjukkan n=1 benar terlebih dahulu? Karena itu sebagai penanda (yang sudah pasti/valid) untuk menjalankan sejumlah k yang diandaikan.
  3. Kenapa mengandaikan n = k benar dan kemudian membuktikan n = k + 1 juga benar. Ini tidak lain adalah kita ingin bekerja efisien dan efektif dengan memanfaatkan barisan yang ada. Tidak perlu membuktikan satu per satu (ini induktif) tapi semua sebanyak k+1.

 

Kadek Adi Wibawa dan Haryanto